22. To mitjà

Concepte de temperament.- To mitjà.- Escala.- Anàlisi dels intervals. Índex

Concepte de temperament

El sistema pitagòric parteix només de l'octava exacta, 2/1, i de la quinta exacta, 3/2. No aconsegueix tancar el cicle de quintes (coma de Pitàgores) i les terceres majors que obté, de valor 81/64, són molt allunyades de les ideals, de valor 5/4. El sistema de Zarlino força el valor exacte de les terceres majors i menors, però a canvi ha de sacrificar algunes quintes, algunes terceres majors i algunes terceres menors. A més, provoca l'aparició dos tons enters diferents, de valors 9/8 i 10/9.

Per a resoldre els problemes generats per aquestes situacions, s'ha recorregut a diverses fórmules de temperament. El procediment general consisteix a definir quintes inexactes incorporant-hi fraccions irracionals, definides a partir de la coma sintònica o de la coma de Pitàgores. Si volem fer una anàlisi factorial d'aquestes afinacions hem de recórrer a fraccions, i el procediment perd bona part del seu sentit.

S'han fet moltes afinacions temperades, fins que darrerament s'ha generalitzat el temperament uniforme; per raons històriques i pel procediment emprat en destacarem tres:

 

To mitjà

L'escala de Zarlino, en relació a la Pitagòrica, presentava diversos inconvenients, entre els quals l'existència de dos tons enters diferents, 9/8 i 10/9. En canvi, presentava una avantatge innegable: aquests dos tons conjuntament formaven una tercera major exacta:

(9/8) · (10/9) = 5/4

Ja cap als volts de 1500 Pietro Aaron indica la conveniència de comptar amb un sol to enter.

De les diverses fórmules possibles per a aconseguir-ho, anomenades de to mitjà, n'hi ha una que resulta òptima per tal com reuneix dues importants propietats:

Comencem definint el to enter mitjà com

(5/4)1/2 = 1,1180 (193,2 cents)

En un cicle de quintes el to enter resulta de l'acumulació de dues quintes (i reducció a l'octava de referència). Per tant el valor de la quinta ajustada serà

[(5/4)1/2]1/2 = (5/4)1/4 ===> 51/4 = 1,4953 (696,6 cents)

La relació entre aquest valor i l'exacte és

51/4 / (3/2) = (80/81)1/4

que s'anomena d'un quart de coma sintònica

Si acumuléssim 12 quintes de valor 51/4 seria

(51/4)12 = 53 ===> 2-6 53

La diferència fins a l'octava exacta és

2 / (2-6 53) = 27 5-3

que és la diesi menor de Rameau.

La quinta que tancarà el cicle haurà de tenir doncs el valor

51/4 · 27 5-3 = 27 5-11/4 = 1,5313 (737,7 cents)

Aquesta discrepància en el tancament del cicle era una dificultat greu; alguns orgues van resoldre-ho amb dues tecles negres seguides per a les notes situades en els extrems no coincidents del cicle de quintes.

cicle de quintes del to mitjà

 

Escala

L'aplicació del procediment esmentat dóna lloc al resultat següent:

Nota Valor pitagòric Correcció Valor decimal Cents
... ... ... ... ...
lab 128/81 0,9969-4 = 1,0125 1,6000 813,7
mib 32/27 0,9969-3 = 1,0094 1,1963 310,3
sib 16/9 0,9969-2 = 1,0062 1,7889 1006,8
fa 4/3 0,9969-1 = 1,0031 1,3375 503,4
do 1/1 0,99690 = 1,0000 1,0000 0,0
sol 3/2 0,99691 = 0,9969 1,4953 696,6
re 9/8 0,99692 = 0,9938 1,1180 193,2
la 27/16 0,99693 = 0,9907 1,6719 889,7
mi 81/64 0,99694 = 0,9877 1,2500 386,3
si 243/128 0,99695 = 0,9846 1,8692 1082,9
fa# 729/512 0,99696 = 0,9815 1,3975 579,5
do# 2187/2048 0,99697 = 0,9785 1,0449 76,0
sol# 6561/4096 0,99698 = 0,9755 1,5625 772,6
re# 19683/16384 0,99699 = 0,9724 1,1682 269,2
... ... ... ... ...

Ordenant els valors anteriors i desenvolupant el cicle de quintes només entre -3 i +8 (una de les diverses possibilitats), tenim l'escala següent:

do 0,0
do# 76,0
re 193.2
mib 310.3
mi 386.3
fa 503.4
fa# 579.5
sol 696.6
sol# 772.6
la 889.7
sib 1006.8
si 1082.9
do' 1200,0

 

Anàlisi dels intervals

anàlisi gràfica
Anàlisi gràfica de l'afinació

Cal notar que