25. Temperaments uniformes

Concepte de temperament uniforme.- Càlculs.- Algunes escales uniformes notables.- Les comes de Mercator.- Valors dels intervals en comes de Mercator.- Representació gràfica de les escales uniformes. Índex

Concepte de temperament uniforme

La idea de dividir l'octava en un nombre d'intervals iguals ja fou suggerida pel filòsof grec Aristoxenos. També Zarlino, conscient de les limitacions del seu sistema, va advocar per la mateixa idea. Els diversos temperaments no uniformes es poden considerar tempteigs que s'hi acostaven.

La idea bàsica dels temperaments uniformes de les escales amb octava consisteix a establir intervals elementals de la forma

21/n

on n és el nombre de notes de l'escala. Els intervals corresponents als diversos graus g d'una escala uniforme d'n graus són donats per l'expressió

i = 2g/n

Si expressem els intervals en cents, el valor de l'interval elemental és

1200 / n

i el de cada interval

ic = 1200 · g / n

El problema invers consisteix a calcular el grau g a partir de les altres variables. Aplicant logaritmes a la segona de les igualtats anteriors tenim

log i = (g/n) log 2

d'on

g = n ·log i / log 2

I partint de la quarta fórmula tenim que

g = n · ic / 1200

Cal notar que el valor de g ha d'ésser, per definició de grau d'una escala, un valor enter, de manera que els valors donats per les dues darreres fórmules s'han d'arrodonir, i d'aquest arrodoniment sorgeix un error. Òbviament una escala òptima serà aquella en què els intervals desitjats es produeixin amb el menor error possible.

 

Càlculs

Aquesta eina de càlcul permet obtenir els valors d'un interval determinat donant valor a n i a g:

Entreu els valors del nombre de graus de l'escala (n) i el del grau desitjat (g); n'obtindreu el valor decimal i en cents. n
g
decimal
cents

Aquesta eina indica els graus que més s'aproximen a la quinta exacta, a la tercera major exacta i a la tercera menor exacta en una escala d'n graus:

Entreu els valors del nombre de graus (n); obtindreu els números corresponents als graus més aproximats a tres intervals exactes: quinta, tercera major i tercera menor, i els valors que realment correspon als graus obtinguts. n  
Quinta (702,0)
Tercera Major (386,3)
Tercera menor (315,6)
 

 

Algunes escales uniformes notables

Es pot fer una escala uniformement temperada per a qualsevol nombre de notes per octava.

La de 19 tons s'ajusta molt bé a les terceres menors: el grau cinquè hi té un valor de 315,8 cents, molt proper a l'exacte, 315,6.

La de 31 tons s'ajusta molt bé a les terceres majors: el grau desè hi té un valor de 387,1 cents, molt proper a l'exacte, 386,3.

Pel que fa a les quintes, resulten molt adequades la de 12 tons (amb un setè grau de 700 cents) i la de 53 tons (amb un trenta-unè grau de 701,9 cents), que s'aproximen molt al valor exacte, 702 cents.

L'escala uniformement temperada de 12 tons és la que es fa servir habitualment avui en la música de tradició europea. La de 19 s'acosta a una de les escales àrabs. La de 31 s'acosta molt a la que va establir Nicola Vicentino el segle XVI. I la de 53 dóna lloc a una unitat de compte anomenada coma de Mercator. I, finalment, la mesura dels intervals en cents no és altra cosa que l'aplicació d'una escala uniformement temperada de 1200 graus.

 

Les comes de Mercator

Tota aquesta problemàtica fou empresa d'una manera analítica i centrada en la quinta (3/2) per dos investigadors, l'anglès William Holder (1614-1696) i l'alemany Nicolaus Kauffmann Mercator (1620-1687), independentment l'un de l'altre. Tots dos van establir les importants propietats de l'escala uniforme de 53 graus.

El mèrit de Holder i de Mercator fou el del plantejament del concepte i el desenvolupament de mètodes analítics per a calcular els resultats.

L'interval corresponent a la divisió de l'escala en 53 graus uniformes es coneix amb el nom de coma de Mercator:

CM = 21/53 = 1,0132

que equival a 22,6415 cents.

L'acumulació de 53 quintes exactes difereix de 31 octaves és

(3/2)53 / 231 = 2151972563 / 2147483648 = 1,0021

que correspon a 3,61 cents.

Una aproximació rellevantment millor ens portaria fins a n=306.

 

Valor dels intervals en comes de Mercator

Tot i que el sistema de Mercator no va esdevenir mai una escala en el sentit propi de la paraula, té un especial interès teòric.

Els intervals bàsics de l'escala pitagòrica es poden expressar mitjançant nombres enters de comes, amb un error molt petit, com ho mostra el quadre següent:

octava 2/1 53,00
quinta 3/2 31,00
quarta 4/3 22,00
tercera major 81/64 18,01
tercera menor 32/27 12,99
to 9/8 9,01
semitò cromàtic (apotome) 2187/2048 5,02
semitò diatònic (leimma) 256/243 3,98

El to enter es divideix en 9 comes; la distància entre un bemoll i un sostingut no igualats enharmònicament és d'1 coma (diferència entre els dos semitons).

Aplicat als intervals de l'escala de Zarlino, el nombre de comes de Mercator que correspon a cada interval resulta una mica menys proper a un nombre enter:

tercera major 5/4 17,06
tercera menor 6/5 13,94
to enter menor 10/9 8,06

 

Representació gràfica de les escales uniformes

En aquesta taula es presenta una descripció de les escales uniformement temperades fins a 150 notes per octava. Les preguntes que s'hi responen són les següents: amb quina qualitat d'ajustament cada escala conté una quinta, una tercera major i una tercera menor exactes? I quin grau hi ocupen? La qualitat de l'ajustament s'indica mitjançant un color: el color verd indica un bon ajustament; una menor exactitud dóna pas als tons més grocs i finalment al blanc.

n Quinta
(702,0)
Tercera Major
(386,3)
Tercera menor
(315,6)
g cents g cents g cents
1112000000
2160016001600
3280014001400
4260013001300
5372024801240
6480024002400
7468623432343
8575034502300
9566734002267
10672033603360
11665544363327
12770044003300
13873843693277
14868654294343
15972054004320
16967553754300
171070653534282
181173364005333
191169563795316
201272063605300
211268674006343
221370973826327
231367873656313
241470084006300
251572083847336
261569283697323
271671194007311
281668693867300
291770393728331
3018720104008320
3118697103878310
3219713103758300
3319691114009327
3420706113889318
3520686113779309
3621700124009300
37227141238910324
38226951237910316
39237081340010308
40236901339011330
41247021338011322
42257141440011314
43256981439111307
44267091438212327
45266931437312320
46277041539112313
47276891538312306
48287001537513325
49297101639213318
50296961638413312
51307061637613306
52306921739214323
53317021738514317
54327111737814311
55326981839314305
56337071838615321
57336951837915316
58347031939315310
59357121938616325
60357001938016320
61367082039316315
62366972038716310
63377052038117324
64376942139417319
65387022138817314
66397092138217309
67396992239418322
68407062238818318
69406962238318313
70417032339418309
71427102338919321
72427002338319317
73437072337819312
74436972438919308
75447042438420320
76446952437920316
77457012539020312
78467082538521323
79466992538021319
80477052639021315
81476962638521311
82487022638022322
83497082739022318
84497002738622314
85507062738122311
86506982839123321
87517032838623317
88516952838223314
89527012939123310
90537072938724320
91536992938224316
92547043039124313
93546973038724310
94557023038325319
95567073139225316
96567003138825313
97577053138426322
98576983239226318
99587033238826315
100597083238426312
101597013339227321
102607063338827318
103606993338427315
104617043338127312
105616973438928320
106627023438528317
107637073438128314
108637003538928311
109647053538529319
110646983538229316
111657033638929314
112667073638629311
113667013638230319
114677053738930316
115676993738630313
116687033738331321
117686973839031318
118697023838631315
119707063838331313
120707003939032320
121717043938732317
122716983938432315
123727024039032312
124737064038733319
125737014038433317
126747054139033314
127746994138733312
128757034138434319
129756984239134316
130767024238834314
131777054238534311
132777004238235318
133787044338835316
134786994338535313
135797024338236320
136807064438836318
137807014438536315
138817044438336313
139816994538837319
140827034538637317
141826984538337315
142837014638937313
143847054638638319
144847004638338317
145857034738938314
146856994738638312
147867024738439318
148877054838939316
149877014838739314
150887044838439312