7. Sons compostos

Teorema de Fourier. - Anàlisi de les vibracions sonores complexes.- Parcials de les vibracions sonores.- Percepció dels sons purs simultanis.- Casos particulars.- Sons de la mateixa freqüència Índex

Teorema de Fourier

Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), en la seva obra Teoria analítica de la calor (1822), va demostrar que qualsevol funció periòdica contínua - i també algunes de discontínues -, per complexa que sigui, pot ésser descrita - sempre i d'una sola manera - com l'addició de diverses funcions sinusoïdals:

y = Σ an sin(2 π n k x + θn)

on

 

Anàlisi de les vibracions sonores complexes

El teorema de Fourier es pot aplicar a les funcions que descriuen les vibracions i, com a cas particular, a les funcions que descriuen les vibracions sonores.

Tota vibració sonora complexa, és a dir, no sinusoïdal, pot ésser considerada doncs com la resultant de la superposició de dues o més vibracions sinusoïdals. Dit d'una altra manera, qualsevol so pot ésser considerat com un conjunt de sons purs: si el so és periòdic els sons purs seran constants, i si no ho és, aquests seran contínuament variables.

 

Fonamental i parcials de les vibracions sonores

Aplicada a una vibració sonora periòdica, la fórmula de Fourier esdevé

A(t) = Σ An(t) = Σ an sin(2 π n f t + θn)

on

Cal notar que si a1 = 0 el parcial de freqüència igual a la freqüència fonamental serà absent del conjunt.

El terme θn - el desplaçament de fase - és irrellevant a efectes musicals. Té incidència en la forma de l'ona i en la seva amplitud mitjana - i per tant en la sonoritat -, però no en la percepció musical.

Cada una de les vibracions simples s'anomena parcial i adopta la forma

An(t) = an sin(2 π n f t)

És evident que, essent enters els valors d'n, siguin quins siguin aquests, f és el màxim comú divisor de tots els valors n f. Dit d'una altra manera, la freqüència fonamental és el màxim comú divisor de les freqüències dels parcials.

Així, dos sons purs de 600 Hz i de 800 Hz generen, combinats, una vibració de 200 Hz.

Si expressem les freqüències en forma de fracció irreductible, la freqüència de la vibració global s'expressarà sempre amb el valor 1.

Tornant a l'exemple, les dues freqüències de 800 Hz i 600 Hz corresponen a un interval

800 / 600 = 4 / 3

i, d'acord amb la mateixa proporció, la freqüència global de 200 Hz és 1:

800 / 200 = 4
600 / 200 = 3
200 / 200 = 1
superposició d'ones sinusoïdals
Supersposició de vibracions sinusoïdals: a l'esquerra, una vibració complexa; a la dreta, descomposició
en tres vibracions sinusoïdals, de proporcions 1:2:3.

 

Percepció dels sons purs simultanis

L'aparell auditiu fa, en certa manera, una anàlisi de Fourier, de manera que un so compost és descompost en els sons purs que el formen, però alhora tendeix a precebre el conjunt com un tot. La relació entre vibració i percepció és complexa:

Feu clic a Exemple sonor. S'obrirà en una nova pàgina.

Exemple sonor

  1. Activeu la casella d'acceptació (I accept the risk and want to run this app.) i feu clic a Run. Alguns navegadors exigeixen una autorització prèvia per a executar applets de Java. I en tot cas cal que Java estigui instal·lat en el nostre equip.
  2. Poseu a zero totes els indicadors de freqüència fent clic a Clear.
  3. Desplaceu quatre quadrets tals que les freqüències estiguin en la proporció 1:2:3:4, i que les intensitats siguin la mateixa en els quatre casos.
  4. Observeu com sona.
  5. Sense apagar el so, afebliu paulatinament el més greu (el de més a l'esquerra).

 

Casos particulars

Són d'interès dos casos particulars del cas general:

 

Sons de la mateixa freqüència

Si hi ha diversos sons de la mateixa freqüència, la combinació resultant equival a un so pur de la mateixa freqüència, amb una amplitud que pot oscil·lar entre la suma de les amplituds i l'anul·lació total del so. Es dóna el primer cas quan els dos tons es troben en fase (és a dir, quan es dóna una perfecta coincidència entre el màxim positiu, el màxim negatiu i el valor nul de les dues vibracions. L'anul·lació del so es produeix quan les amplituds són iguals i al màxim positiu de l'un correspon el màxim negatiu de l'altre (oposició de fase). Ambdós extrems són possibles només en el laboratori; la idea que n'hem de treure és que en les situacions reals l'amplitud - i per tant la intensitat sonora - és més gran que zero però menor que la de la suma dels components.