6. Operacions amb intervals

Addició i substracció d'intervals.- Relacions notables entre intervals.- Inversió d'un interval.- Intervals compostos. Índex

Addició i substracció d'intervals

Com hem dit, els intervals es poden mesurar de dues maneres: com fraccions representatives dels quocients entre les freqüències (referent físic) o en l'escala logarítmica de cents (referent perceptual).

Prenent com a base aquest darrer, podem establir els conceptes de suma i resta d'intervals.

Així la suma d'un interval de 300 cents i d'un altre de 200 cents és

300 cents + 200 cents = 500 cents

En termes de fraccions, la suma d'intervals correspon a un producte, i la resta a una divisió. Per exemple, la suma d'un interval 3/2 i un interval 4/3 és

(3/2) · (4/3) = 2/1

Si l'interval està expressat en forma d'exponents dels factors primers, n'hi ha prou de sumar-los o restar-los algebraicament:

[ -1 1 0 ] + [ 2 -1 0 ] = [ 1 0 0 ]

 

Relacions notables entre intervals

Algunes relacions entre intervals són notables:

1 quinta + 1 quarta = 1 octava (3/2) · (4/3) = 2/1
2 quintes - 1 octava = 1 quinta - 1 quarta = 1 segona major (3/2)2 / 2 = (3/2) / (4/3) = 9/8
1 sexta menor + 1 tercera major = 1 octava (8/5) · (5/4) = 2/1
1 tercera menor + 1 sexta major = 1 octava (6/5) · (5/3) = 2/1
1 quarta + 1 tercera major = 1 sexta major (4/3) · (5/4) = 5/3
1 tercera major + 1 tercera menor = 1 quinta (5/4) · (6/5) = 3/2

Cal notar una aparent anomalia terminològica. Semblaria que una quinta més una quarta haurien de donar una novena, però en realitat donen una octava. I anàlogament en els altres casos. El motiu és el sistema de comptatge, en què en realitat comptem notes i no intervals unitaris: una quinta són quatre intervals unitaris i per tant 5 notes (comptant la primera). Anàlogament una quarta són tres intervals i 4 notes. Sumant els intervals tenim

4 + 3 = 7

I 7 intervals unitaris són 8 notes, és a dir, una octava.

 

Inversió d'un interval

Les tres sumes que equivalen a una octava donen lloc al concepte d'inversió d'un interval: la inversió d'un interval consisteix a restar de l'octava l'interval esmentat.

Dit d'una altra manera, els parells d'intervals que sumats formen una octava són mútuament inversos:

Si l'interval s'expressa en forma de fracció, per obtenir-ne la inversió cal dividir 2 per la fracció. Així, la inversió de l'interval 6/5 dóna

2 / ( 6 / 5 ) = 5 / 3

O bé

[ 1 0 0 ] - [ 1 1 -1 ] = [ 0 -1 1 ]

La inversió d'un interval expressat en cents equival a restar-lo de 1200. Així, la inversió de l'interval de 400 cents dóna

1200 cents - 400 cents = 800 cents

 

Intervals compostos

Els intervals menors que una octava s'anomenen simples. Els més grans que una octava s'anomenen compostos, i es consideren formats per un interval d'una o més octaves i un interval simple. Des del punt de vista matemàtic es tracta de casos particulars de la suma d'intervals.

Així, per exemple, l'interval 3/1 es considera compost d'una octava, 2/1, i una quinta, 3/2:

(2/1) · (3/2) = 3/1