5. Intervals

Percepció de les diferències de to.- Intervals.- Octava.- Formes d'expressió dels intervals.- Escales perceptuals.- Pas de fracció a cents. Pas de cents a fracció.- Intervals notables.- Espiral de tons. Índex

Percepció de les diferències de to

Quan sentim successivament dos sons amb tons diferents, tenim una percepció de distància entre l'un i l'altre.

Suposem tres sons d'un piano: les notes anomenades do, sol i re' (és a dir, el re de l'octava superior). La nostra oïda percep que entre el re' i el sol hi ha la mateixa distància que entre el sol i el do o, dit d'una altra manera, que la distància entre el do i el re' és el doble que la distància entre el do i el sol.

partitura

Malgrat això, les diferències en termes de freqüències són ben dispars: la freqüència d'un sol és 3/2 = 1,5 vegades més gran que la del do, la del re', 3/2 = 1,5 vegades més gran que la del sol.

I per tant la del re' és 9/4 = 2,25 vegades més gran que la del do. Evidentment, 2,25 no és pas el doble d'1,5.

Això ens porta a formular la llei fonamental de la percepció del to: les diferències de to són proporcionals als quocients de les freqüències.

Això es pot formular de dues maneres més, equivalents matemàticament:

Si observem els trasts d'una guitarra tindrem una visualització directa de la discrepància entre el fenomen físic i el fenomen perceptual: a distàncies perceptuals iguals (un semitò) corresponen distàncies físiques decreixents, i per tant diferències creixents de freqüències.

trasts d'una guitarra
Detall dels trasts d'una guitarra

Aquesta característica de la percepció del to fet és fonamental per a la definició d'interval.

 

Intervals

Donats dos tons caracteritzats per les seves freqüències, f1 i f2, s'anomena interval entre aquests el quocient f2 / f1.

La fracció es presenta sempre en forma simplificada al màxim. Així, per exemple, l'interval entre un so de 240 Hz i un altre de 320 Hz és

i = 320/240 = 4/3

 

Octava

Hi ha un fet bàsic pel que fa a la percepció dels sons: l'especial afinitat que percebem entre dos tons tals que l'un té la freqüència doble que l'altre, tant si els produïm successivament com si els produïm simultàniament. La dificultat que per al llenguatge té l'expressió exacta de les percepcions ens porta a dir coses com ara que sonen igual però diferent.

Quan un to té una freqüència doble que un altre, diem que es troben a la distància d'una octava. El mot octava es troba estretament lligat a la tradició musical occidental, i significa simplement la nota que fa 8 en l'escala diatònica. Però el concepte d'octava, se'n digui així o d'una altra manera, és universal, i es troba pràcticament en totes les tradicions musicals.

Notem l'especial afinitat entre la nota primera i la quarta; l'interval corresponent es repeteix després en seqüència i simultàniament:

partitura

Tots els tons la freqüència dels quals s'obté doblant successivament la freqüència d'un d'inicial (f, 2f, 4f, 8f, etc.) constitueixen una classe de to.

En moltes tradicions musicals les classes de to reben noms específics; en l'europea,

re, sol, fa#, mib...

(en els països de tradició anglosaona, es diu C (=do), D (=re), i, segons el mateix patró, E, F, G, A, B. En francès es diu ut en lloc de do).

Si cal, es distingeix l'octava amb un subíndex:

do1, mi4...

 

Formes d'expressió dels intervals

Els intervals s'expressen habitualment en forma de fracció irreductible,

a / b

en què a i b són nombres primers entre si.

Com que la comparació entre dues fraccions no sempre és aparent a primer cop d'ull, és molt freqüent també l'expressió d'un interval en forma decimal, que fa explícit el resultat del càlcul indicat per la fracció:

6 / 5 = 1,2

També és freqüent d'expressar els intervals com producte dels seus factors primers, amb exponent positiu o negatiu segons que el factor correspongui al numerador o al denominador. Per exemple, l'interval 6/5 es pot expressar així:

21 31 5-1

(En matemàtiques no se sol indicar l'exponent unitari positiu, però l'hem escrit per a més claretat).

Si adoptem la convenció de disposar els factors primers en ordre creixent, l'expressió anterior pot ésser simplificada a

[1 1 -1]

En aquest cas és imprescindible d'escriure 0 quan calgui indicar l'absència d'un factor primer:

5 / 4 = [2 0 -1]

I, encara, si tenim en compte que el factor 2 només diferencia els membres d'una mateixa classe de to, les classes de to poden ésser enunciades amb el mateix sistema que acabem de dir, prescindint del primer terme, indicatiu de l'exponent del factor 2. Així,

[1 -1]

designa la classe de to comuna a 3/5, 6/5, 12/5...

 

Mesura dels intervals en cents

Com ja hem indicat, dir que les diferències perceptuals es corresponen amb els quocients entre les freqüències és tant com dir que la nostra percepció dels tons és de naturalesa logarítmica.

Per aquest motiu els intervals també es poden mesurar, sobre una base perceptual, mitjançant els logaritmes entre les freqüències dels dos tons. Hi ha dues escales basades en aquest procediment: la de savarts i la de cents.

Un interval expressat en savarts responia inicialment a la fórmula

is = 1000 * log10 i

Com que log102 = 0,301, el valor de l'interval d'octava expressat en savarts era de 301.

Posteriorment es va arrodonir el savart de manera que n'hi hagués 300 per octava; d'aquesta manera la nova definició és

21/300

L'expressió dels intervals en cents es relaciona estretament amb l'escala uniformement temperada. La unitat fou inventada per Alexander Ellis el 1875, en l'apèndix a la traducció a l'anglès de l'obra de Helmholz Sobre la sensació de to.

Un cent és un interval definit com

21/1200 = 1,000577895

Es va triar l'exponent 1/1200 perquè d'aquesta manera l'octava mesura 1200 cents i per tant cada semitò de l'escala uniformement temperada equival a 100 cents.

Cal notar que mentre les freqüències dels tons són valors absoluts, els valors dels intervals - expressats en forma de fracció, de quocient o en forma logarítmica - són relatius: sempre es refereixen al valor d'una nota en relació a una altra que es pren com a base.

A partir de les respectives definicions es dedueix que un savart nou equival a 4 cents.

 

Pas de fracció a cents

El càlcul del valor en cents d'un interval es fa amb la fórmula

ic = 1200 · log2 i

Podem evitar el treball amb logaritmes de base 2 fent ús de la propietat matemàtica que relaciona els logaritmes de bases diferents:

ic = 1200 · log i / log 2

Aquesta expressió és vàlida per a qualsevol base; generalment s'aplica mitjançant els logaritmes decimals o els neperians.

Per aplicació directa d'aquesta relació podem dur a terme la transformació de fracció a cents; inversament, podem realitzar la transformació de cents a fracció. Amb l'excepció de l'interval d'octava, a un valor racional en una forma n'hi correspon un d'irracional en l'altra.

Les aproximacions successives a un nombre expressat en format decimal (cas dels cents) són molt visibles, ja que es diferencien només pel nombre de decimals explicitats. Les aproximacions entre fraccions són molt menys evidents, ja que, tenint denominadors diferents, presenten un aspecte totalment diferent: que 3/2 és una bona aproximació de 211/140 no és gens clar fins que en calculem els quocients: 1,507 i 1,5.

Introduïu en el primer requadre el valor de l'interval en forma de fracció (4/3). Si el valor és en forma decimal, amb la forma 1,25/1. N'obtindreu el valor decimal arrodonit a quatre decimals i el valor en cents arrodonit a un sol decimal. Forma de fracció
Forma decimal
Valor en cents

 

Pas de cents a fracció

Introduïu un valor en cents en el primer requadre. N'obtindreu el valor decimal arrodonit a quatre decimals i dues expressions en forma de fracció, una de més exacta amb denominador igual o inferior a 1000, i una altra de menys exacta, però més simple. Valor en cents
Forma decimal
Fracció menys exacta
Fracció més exacta

 

Intervals notables

La música de tradició europea fa servir una sèrie d'intervals, que reben noms específics.

A continuació en presentem els noms i els valors de referència, en forma de fracció i en cents:

Segona menor 16/15 111,7
Segona Major 9/8 203,9
Tercera menor 6/5 315,6
Tercera Major 5/4 386,3
Quarta 4/3 498,0
Quinta 3/2 702,0
Sexta menor 8/5 813,7
Sexta Major 5/3 884,4
Setena menor 9/5 1017,6
Setena Major 15/8 1088,3
Octava 2/1 1200,0

Tot i que els noms d'aquests intervals són indissociables de la tradició musical europea, els valors d'aquests, especialment l'octava, la quinta i la quarta, són d'abast pràcticament universal.

No sempre, però, es fan servir els valors de referència exactes; en tractar de les escales i de les afinacions en coneixerem el motiu.

 

Espiral de tons

Ens trobem en la situació següent: partim d'un determinat to i en fem sonar d'altres successivament més aguts. Cada vegada notem que estan més lluny del primer... fins que arriba un moment que un determinat to - el de l'octava - és més llunyà encara, però alhora ens suggereix un especial emparentament amb el primer: llunyà en un sentit però proper en un altre.

Aquest fet es visualitza fàcilment mitjançant una espiral.

espiral de tons
Espiral de tons