26. Escala uniformement temperada de 12 tons

Concepte.- Cicle de quintes i tancament.- Escala.- Anàlisi dels intervals.- Tonalitats en l'escala uniformement temperada.

Índex

Concepte

L'aplicació del concepte d'escala uniformement temperada a una escala de 12 tons comporta definir una quinta ajustada de valor

2^7/12 = 1,4983

L'interval comprès entre la quinta exacta i la uniformement temperada té el valor

(3/2) / 2^7/12 = 1,0011

i fou anomenat grad (grau en alemany) per Andreas Werkmeister.

Cicle de quintes i tancament

Si amb el valor 2^7/12 generem un cicle de quintes, els valors successius seran

(2^7/12)² = 2^14/12 ===> 2^2/12
(2^7/12)³ = 2^21/12 ===> 2^9/12
...

i en general, cada una de les notes tindrà el valor

2^n/12

en què n és un nombre enter, com correspon a la definició de temperament uniforme. I al final és

2^12/12 = 2

i es tanca exactament el cicle de quintes.

D'aquesta manera la coma de Pitàgores queda uniformement repartida al llarg de tots els intervals de l'octava i aconseguim que 12 quintes coincideixin exactament amb 7 octaves.

Escala

El fet que cada grau quedi determinat per l'expressió 2^n/12 fa que, a diferència del que hem fet en tots els altres casos, sigui més pràctic mostrar la gènesi de l'escala en ordre creixent de semitons:

Nota	Expressió	Valor decimal	Cents
do	2^0/12	1,0000	0
do# = reb	2^1/12	1,0595	100
re	2^2/12	1,1225	200
re# = mib	2^3/12	1,1892	300
mi	2^4/12	1,2599	400
fa	2^5/12	1,3348	500
fa# = solb	2^6/12	1,4142	600
sol	2^7/12	1,4983	700
sol# = lab	2^8/12	1,5874	800
la	2^9/12	1,6818	900
la# = sib	2^10/12	1,7818	1000
si	2^11/12	1,8877	1100

Anàlisi dels intervals

Anàlisi gràfica de l'afinació

Cal notar que

Tots els intervals d'un to són idèntics.
Dos semitons i un to sencer són exactament el mateix.
Tots els intervals homònims són idèntics entre si: totes les quintes són iguals, totes les quartes són iguals, totes les terceres majors són iguals, etc., independentment de la nota de partença.
Totes les escales d'ús habitual són subconjunts de l'escala cromàtica: la major, la menor natural, la pentatònica, la menor melòdica, la menor harmònica...
Qualsevol conjunt de set notes de l'escala cromàtica que respecti la distribució de tons i semitons és una escala diatònica (major o menor natural), i qualsevol conjunt de cinc notes que respecti la distribució d'intervals de to i de to i mig constitueix una escala pentatònica.

Sovint es diu que Bach va escriure els 48 Preludis i Fugues del Clavecí Ben Temperat per demostrar l'efectivitat d'aquest temperament. Les recerques recents, però, semblen indicar que més aviat s'orientaven a treure partit de la diversitat de matisos del sistema Werckmeister III.

Tot i que el gruix fonamental del que coneixem com música clàssica s'ha escrit d'acord amb aquest sistema, alguns músics contemporanis han criticat severament l'escala uniformement temperada i han fet intents de retornar a diverses versions de la justa entonació.

Tonalitats en l'escala uniformement temperada

En l'escala uniformement temperada les melodies poden ésser transportades. Transportar una melodia vol dir canviar-ne la tonalitat tot mantenint inalterades totes les altres característiques, tant melòdiques com harmòniques; això s'aconsegueix modificant totes les notes un determinat nombre de semitons cap amunt o cap avall.

A continuació es presenten dues versions de l'Himne a l'Alegria, de la IX Simfonia de Beethoven, en adaptació per a piano; la primera en Do Major:

I la segona en Mi Major: