21. Entonació justa

Plantejament del problema.- Establiment dels intervals fonamentals.- Cicle de quintes i tancament.- Escala estàndard.- Anàlisi dels intervals.- Les claus. Índex

Plantejament del problema

L'afinament pitagòric de l'escala diatònica funciona bé per a la música monofònica. A la segona meitat del segle IX va aparèixer l'organum (plural organa), forma vocal polifònica que consistia en l'acoblament d'una o més veus a una melodia litúrgica anomenada veu principal, que procedia del cant pla. Al segle XI aparegué l'organum lliure, en el qual les veus evolucionen per moviments contraris. Els organa poden ésser a dues veus (duplum), a tres (triplum) i a quatre (quadruplum).

L'organum va evolucionar vers el contrapunt, present ja el segle XIV, amb acords molt més variats. La tercera major ajustada a 81/64 representava un problema; de fet els cantants tendien a desentonar: en realitat el que feien era cantar la tercera exacta.

La idea d'ajustar la tercera major a 5/4 es remunta ja als grecs; l'havien proposat, enttre d'altres, Aristoxen, Dídim i Ptolomeu.

Una de les afinacions proposades per Ptolomeu va ser represa a finals del segle XV per Franchino Gaffurio (1451-1522), però s'hi mostrava en contra. La defensa d'aquell sistema fou empresa per Ludovico Fogliano, a Musica Theorica (1529) i sobretot per Gioseffo Zarlino (1517-1590) a Istitutioni Harmoniche (1558).

En el sistema de Zarlino, conegut com entonació justa, es dóna relleu especial a quatre intervals: l'octava, 2/1, la quinta, 3/2, la tercera major, 5/4 i la tercera menor, 6/5. Amb la tercera major es construeix l'escala major i amb la tercera menor, l'escala menor.

 

Establiment dels intervals fonamentals

Zarlino deriva els intervals fonamentals fent ús sistemàtic dels conceptes de mitjana harmònica i de mitjana aritmètica, que aplica a les longituds de les cordes d'un monocord.

Aquí ho presentem en termes de raons entre freqüències; les mitjanes aritmètiques esdevenen, doncs, harmòniques, i les harmòniques esdevenen aritmètiques.

Els intervals bàsics es deriven de la manera següent:

Les mitjanes aritmètiques i harmòniques tenen la següent propietat matemàtica: donats dos nombres, el producte de la mitjana aritmètica per la mitjana harmònica és igual al producte dels dos nombres. Aplicat al cas que ens ocupa tenim que:

Expressant conjuntament la nota base, la tercera major i la quinta tenim la proporció

4:5:6

representativa de la tríada major, i expressant conjuntament la nota base, la tercera menor i la quinta tenim

10:12:15

representativa de la menor.

L'existència de dos tons enters diferents, de valors 9/8 i 10/9 acosten l'escala de Zarlino a la d'Aristoxen: limitant-nos a l'escala de do Major, l'única diferència és troba en els intervals sol-la-si, que, com veurem, són 9/8 i 10/9 en la d'Aristoxen i 10/9 i 9/8 en la de Zarlino.

 

Cicle de quintes i tancament

Per a la construcció de l'escala estàndard es parteix d'un cicle de quintes amb el valor exacte 3/2. Cada nota del cicle és la base de dues tríades, major i menor, que generen dues notes més (la tercera menor i la tercera major). D'aquesta manera aconseguim terceres majors i terceres menors exactes.

Les terceres majors així obtingudes es trobaran separades l'una de l'altra per quintes exactes, i el mateix es pot dir de les terceres menors. D'aquesta menera, tindrem en conjunt tres cicles de quintes independents, per exemple,

Amb aquest procediment no és el mateix, per exemple, generar el la a partir del do mitjançant un cicle de quintes exactes (sistema pitagòric),

(3/2)3 = 27/8 ===> 27/16

que considerar-lo la tercera major exacta del fa,

(4/3) · (5/4) = 5/3

La relació entre aquests dos valors és

(5/3) / (27/16) = 80/81

que és la coma sintònica

Es tracta, doncs, d'un sistema obert, que potencialment genera una gran quantitat de notes. Cal doncs posar-hi algun límit arbitrari. Zarlino va plantejar la possibilitat de la multiplicació de notes, i va fer que Domenico da Pesaro construís un clavicordi de més de 12 notes per octava. S'han fet interpretacions diverses de com era realment aquest calvicordi.

L'escala estàndard de l'entonació justa correspon a l'anàlisi factorial següent:

Factor 5 Factor 3
-1 0 1 2
-1 reb lab mib sib
0 fa do sol re
1 la mi si fa#

Aquest procediment consisteix a integrar en sol cicle de quintes tres grups de notes generats en tres cicles de quintes exactes independents, amb el desplaçament abans indicat, 80/81. Com a conseqüència d'això, s'introdueixen dues quintes més petites que l'exacta en els intervals re - la i sib - fa:

(3/2) · (80/81) = 40/27 (680,4 cents)

Amb aquest procediment tampoc no s'aconsegueix tancar exactament el cicle de quintes. Hi hem emprat nou quintes exactes, 3/2 i dues quintes de valor 40/27. El valor acumulat és doncs

(3/2)9 · (40/27)2 = 2-3 33 52 = 675/8 ===> 675/512

La darrera quinta que tancarà el cicle, fa# - reb tindrà doncs el valor

2 / (675/512) = 1024/675 (721,5 cents)

que és una quinta de valor més gran que el de l'exacta.

cicle de quintes de l'entonació justa

 

Escala estàndard

L'aplicació del procediment descrit dóna lloc als valors següents:

Nota Valor pitagòric Correcció Valor Factors
reb 256/243 81/80 16/15 [-1 -1]
lab 128/81 81/80 8/5 [0 -1]
mib 32/27 81/80 6/5 [1 -1]
sib 16/9 81/80 9/5 [2 -1]
fa 4/3 - 4/3 [-1 0]
do 1/1 - 1/1 [0 0]
sol 3/2 - 3/2 [1 0]
re 9/8 - 9/8 [2 0]
la 27/16 80/81 5/3 [-1 1]
mi 81/64 80/81 5/4 [0 1]
si 243/128 80/81 15/8 [1 1]
fa# 729/512 80/81 45/32 [2 1]

Ordenant els valors obtinguts tenim l'escala següent:

do 1 0,0
reb 16/15 111,7
re 9/8 203,9
mib 6/5 315,6
mi 5/4 386,3
fa 4/3 498,0
fa# 45/32 590,2
sol 3/2 702,0
lab 8/5 813,7
la 5/3 884,4
sib 9/5 1017,6
si 15/8 1088,3
do' 2 1200,0

 

Anàlisi dels intervals

anàlisi gràfica
Anàlisi gràfica de l'afinació

Cal notar que

 

Les claus

Si comencem l'escala en el sol o en el fa, els intervals de quinta, de tercera major i de tercera menor romanen inalterats, però els altres no. Per exemple, el re, segona de l'escala de do, té un valor de 9/8 d'aquest; en canvi, el la, segona de l'escala de sol, es troba a 10/9 d'aquest.

Aquest fet donà lloc a l'ús de tres claus, de do, de fa i de sol, cada una amb una seqüència específica d'intervals i per tant amb qualitats musicals diferents. Les transposicions, tal com les concebem avui, produeixen canvis melòdics molt perceptibles.

Si en comptes de començar l'escala en fa o en sol la comencem en una altra nota qualsevol, no resulten exactes ni les quintes ni les terceres.