10. Consonància. Explicacions numèriques

Consonància.- Consonància i escales.- Intervals derivats de la sèrie harmònica.- Intervals dissonants.- Gradus suavitatis.- Ordenació dels intervals comuns segons el gradus suavitatis.- Altres algorismes d'anàlisis factorial Índex

Consonància

L'associació de dos o més sons simultanis pot ésser qualificada de consonant o de dissonant. Quan la sensació que produeix és agradable parlem de consonància i, en el cas contari, de dissonància. Aquests dos conceptes s'han de considerar com els dos extrems d'un continu: entre la màxima consonància i la màxima dissonància hi ha tots els graus intermedis.

En el concepte de consonància definit així es barregen dos aspectes totalment diferents, segons que es tingui present el context o no.

Determinades associacions de sons simultanis són especialment agradables a l'oïda, per exemple, l'uníson, l'octava, la quinta..., mentre que d'altres, com ara dues notes simultànies separades per un semitò resulten especialment cacofòniques.

Però la valoració d'una associació de sons depèn també del context: per més que tots podem estar d'acord que una tríada de do major és consonant, la rebutjarem si la trobem en un context inadequat. Mentre que quan prescindim del context la consonància dels sons és un fet força objectiu, quan tenim present el context el caràcter agradable o desagradable d'un conjunt de sons, es fa molt subjectiu, i depèn en molta mesura de les persones, de les tradicions musicals i de les èpoques.

Relacionat amb aquest darrer fet hi ha la consideració de consonància o dissonància atribuïda a les seqüències de sons, que també és molt variable.

Hi ha doncs en joc tres conceptes, fortament interrelacionats, però que cal diferenciar:

La qüestió és molt complexa: d'una banda hi ha una constant gairebé universal i és que les escales es construeixen amb intervals capaços de generar acords harmònics, fins i tot en les tradicions musicals exclusivament monofòniques; de l'altra, el fet que la gràcia d'una composició pot raure, entre d'altres coses, en les tensions que causen determinades dissonàncies - melòdiques o harmòniques - que a continuació són resoltes per una consonància.

En la música tonal, la nota anomenada sensible és la que menys s'adiu amb la resta, i això justament és el que li confereix el seu caràcter, que sol ésser descrit dient que atrau la tònica. I pel que fa a l'harmonia, sovint es fan servir acords de setena, que són relativament dissonants, però que realcen el contrast amb l'acord de tònica.

Pel que fa a la música tonal clàssica, aquestes relacions foren estudiades a fons i sistematitzades pel compositor i teòric francès Jean-Philiipe Rameau (1683-1764), que establí les bases de la preceptiva clàssica. Tanmateix en aquest com en altres aspectes la diversitat és molt gran, i els conceptes clàssics pertenyen només a un indret geogràfic i a una època determinada. La música atonal - com el dodecafonisme - funciona sobre unes bases diferents.

Molts teòrics rebutgen fins i tot el plantejament d'una consonància expressable en una sola dimensió, i afirmen que hi ha diversos tipus de consonància: un interval de quinta no és doncs millor ni pitjor que un altre de tercera major; és, simplement, diferent.

Alguns teòrics han proposat els termes acordança, amb extrems de concordança i de discordança per a la consonànica harmònica absoluta. El terme no ha estat pas adoptat unànimement, i aquí parlarem, simplement, de consonància.

 

Consonància i escales

Amb les matisacions que després s'indicaran, hi ha una mena de consens universal:

Els intervals més consonants són alhora els matemàticament més simples.

Dues conseqüències immediates de l'afirmació anterior són les següents:

Aquestes afirmacions es poden acceptar d'una manera axiomàtica i amb l'autoritat que dóna l'experiència: això és el que s'ha fet al llarg dels segles.

Però podem aprofitar les dades de la psicoacústica i cercar explicacions més completes que tinguin en compte tots els aspectes del mecanisme de l'audició: aquesta és la via que va ésser inaugurada per Helmholz a la segona meitat dels segle XIX.

 

Intervals derivats de la sèrie harmònica

Aparellant els primers harmònics s'obtenen els intervals numèricament més simples o intervals que resulten de l'addició d'aquells:

  2f 3f 4f 5f 6f
f 2/1
(octava)
3/1 =
(2/1)·(3/2)
4/1 =
(2/1)·(2/1)
5/1 =
(2/1)·(2/1)·(5/4)
6/1 =
(2/1)·(2/1)·(3/2)
2f   3/2
(quinta)
4/2 = 2/1 5/2 =
(2/1)·(5/4)
6/2 =
(2/1)·(3/2)
3f     4/3
(quarta)
5/3 6/3 = 2/1
4f       5/4
(tercera major)
6/4 = 3/2
5f         6/5
(tercera menor)

L'aparellament dels primers harmònics dóna lloc a una sèrie d'intervals importants. Els que en la taula anterior es defineixen amb una sola fracció es poden considerar com definicions dels intervals més simples; els altres resulten de la combinació d'aquests o hi equivalen.

A continuació presentem els sons corresponents a les aproximacions a aquests intervals que ofereix el temperament uniforme:

Octava partitura
 
 
Quinta partitura
 
 
Quarta partitura
 
 
Tercera major partitura
 
 
Tercera menor partitura
 
 
Sexta najor partitura
 

 

Intervals dissonants

En canvi, els intervals que no resulten dels primers termes de la sèrie harmònica resulten més o menys dissonants. La frontera entre la consonància i la dissonància és difusa; un interval situat a la frontera és l'interval de quarta augmentada, conegut tradicionalment com diabolus in musica.

Per exemple:

Segona menor partitura
 
 
Segona Major partitura
 
 
Quarta augmentada
(o quinta disminuïda)
partitura
 

 

Gradus suavitatis

El Gradus suavitatis (GS) fou introduït per Leonard Euler el 1739 com a mesura del caràcter harmònic d'un interval, d'un acord o d'una escala. Es defineix com el mímim comú múltiple dels nombres enters que expressen les proporcions mútues dels tons.

Així, per a tres tons que es troben en la proporció 4:5:6, el GS és 60.

En el cas en què només hi intervenen dos tons, (1/1) i (a/b), tenim que, reduint a comú denominador i suprimint aquest, l'interval corresponent també es pot expressar amb els valors

b, ab

El mcm d'aquests dos nombres és ab. Per tant,

GSa/b = ab

Així per a l'interval de quarta tenim

GS(4/3) = 3·4 = 12

I per a l'interval de tercera major,

GS(5/4) = 4·5 = 20

El GS representa l'interval entre la freqüència de la vibració conjunta (el to virtual comú del qual els tons en presència serien harmònics) i la freqüència del primer harmònic comú dels sons en presència. Així, per a la quinta tenim que

partitura
Significat del GS. Els harmònics d'una nota, en verd; els harmònics d'una altra, en blau; un to virtual, corresponent a la freqüència conjunta dels dos sons en presència, i els seus harmònics, en vermell. Notem les coincidències.

L'interval o distància entre (1/2) i (3/1) és

(3/1) / (1/2) = 6

que és justament el valor del GS. Dit d'una altra manera, el primer harmònic comú és l'harmònic GS-èsim del to virtual comú.

El GS associa la consonància amb l'esmentada distància. En el cas de l'interval més consonant, l'octava, tenim que el to virtual comú coincideix amb la nota baixa i el primer harmònic comú a les dues notes és la nota alta.

 

Ordenació dels intervals comuns segons el Gradus suavitatis

Aplicant la fórmula del Gradus suavitatis s'obté l'ordenació de més consonància a menys que es presenta a continuació:

Octava 2/1 2
Quinta 3/2 6
Quarta 4/3 12
Sexta Major 5/3 15
Tercera Major 5/4 20
Tercera menor 6/5 30
... ... ...

 

Altres algorismes d'anàlisi factorial

Posteriorment al Gradus suavitatis d'Euler, s'han introduït d'altres algorismes amb la finalitat de mesurar el grau de consonància d'un interval a partir de la grandària dels termes que el defineixen o de la descomposició factorial d'aquests termes.

Per exemple, James Tenney ha proposat la distància harmònica d'un interval a/b aplicant logaritmes al GS:

dh = log (ab) = log a + log b
Octava 2/1 log22 = 1
Quinta 3/2 log26 = 2,585
Quarta 4/3 log212 = 3,585
Tercera Major 5/4 log220 = 4,322