| Altres teòrics grecs.- Plató.- Aristoxen.- Ptolomeu | Índex |
A l'edat mitjana prevalgué d'una manera absoluta el sistema de Pitàgores.
Però ja des de l'antiguitat es van adoptar procediments diferents i es van posar en relleu els problemes que planteja l'escala de Pitàgores. Els filòsofs grecs posteriors a Pitàgores, tot i que influïts per les idees de l'escola pitagòrica. van cercar-hi alternatives diverses.
Les diverses teories foren conegudes gràcies a Boeci (480-524), autor de De institutione Musica.
En el seu Timeu, Plató (427aC?-347aC?) substitueix l'ús de la quinta generatriu per l'ús sistemàtic de la mitjana aritmètica i la mitjana harmònica.
La mitjana aritmètica de dos nombres és la suma d'aquests dividida per 2. Per exemple, la mitjana aritmètica entre 5 i 7 és
( 5 + 7 ) / 2 = 6
La mitjana harmònica de dos nombres és la inversa de la mitjana aritmètica dels inversos. Per exemple, per a 10 i 15 tenim:
[(1/10) + (1/15)] / 2 = 1/12
1 / (1/12) = 12
Plató - com després faria Zarlino - va aplicar aquests conceptes a les longituds de les cordes; permutant-los, els podem aplicar a les freqüències. En tot el que segueix fem això darrer.
Plató partia de les sèries geomètriques basades en el 2 i en el 3:
1 2 4 8
1 3 9 27
Reunint les dues sèries tenim
1 2 3 4 8 9 27
que té la propietat que el darrer terme és justament la suma de tots els altres:
1+2+3+4+8+9 = 27
Plató fa notar que el to bàsic, la quarta, la quinta i l'octava es troben el la proporció 6:8:9:12, i que 9 és la mitjana aritmètica entre 6 i 12 i que 9 n'és l'harmònica.
Amb raonaments d'aquesta mena obté la resta dels intervals.
Arquites de Tarent (430-360 aC, aprox.) va observar que la majoria dels intervals més bàsics (octava, 2/1; quinta, 3/2; quarta, 4/3; to sencer, 9/8) responen a la forma
n + 1 / n
Va proposar una divisió del tetracord en tres intervals d'aquestes característiques; els tres intervals són 10/9, 9/8 i 16/15.
Sembla que Arquites no va saber estendre aquest procediment a tota l'octava, cosa que sí que va fer Aristoxen (350-300 aC, aprox.)
L'escala d'Aristoxen inclou, a més de la quinta i la quarta exactes, la tercera major exacta, 5/4:
1, 9/8, 5/4, 4/3, 3/2, 27/16, 15/8, 2
A aquests graus corresponen els intervals següents:
9/8, 10/9, 16/15 | 9/8 | 9/8, 10/9, 16/15
D'altra banda, Aristoxen remarcà que els intervals musicals havien de ser jutjats per l'oïda i no pas per consideracions únicament matemàtiques.
Ptolomeu (90 aprox. - 168 aprox.) va escriure un tractat anomenat Els harmònics, on exposa, critica i desenvolupa les diverses teories numèriques de la música que hi havia a l'època, i hi estableix una bona dotzena de possibles fórmules per a la construcció d'escales.
Un dels sistemes proposats té importància històrica perquè coincideix amb el que va impulsar Zarlino a l'època del Renaixement. Aquest sistema incloïa, a més de la quinta i la quarta, l'interval de tercera major (5/4), d'acord amb l'escala següent:
1/1, 9/8, 5/4, 4/3, 3/2, 5/3, 15/8, 2/1
Aquest sistema es molt semblant al d'Aristoxen, però presenta els intervals en un ordre diferent.