18. Afinacions

Tipus d'afinacions.- Afinacions derivades de la sèrie harmònica.- Representació gràfica de les escales.- Obtenció de notes per quintes generatrius.- Cicle de quintes. Temperaments.- Anàlisis de les afinacions Índex

Tipus d'afinacions

Des del punt de vista matemàtic, hi ha dos tipus d'afinacions:

En el primer cas tots els intervals consisteixen en nombres racionals; en el segon cas, un o més són nombres irracionals.

 

Afinacions derivades de la sèrie harmònica

En aquestes afinacions es combinen intervals elementals formats pel primer harmònic i altres harmònics expressables mitjançant nombres primers: 2/1, 3/1, 5/1, etc.

En les afinacions obtingudes així es distingeix un límit factorial. Si només s'hi fan servir els intervals elementals 2/1 i 3/1, tots els intervals que en resulten es poden expressar amb els factors 2 i 3 elevats a algun exponent enter. Diem que el límit factorial és 3.

Si també hi intervé l'interval elemental 5/1, els intervals que en resulten es poden expressar amb els factors 2, 3 i 5 elevats a algun exponent enter. En aquest cas diem que el límit factorial és 5.

Per exemple, l'interval 6/5 resulta de

(2/1)·(3/1) / (5/1)

I l'interval 9/8 resulta de

(3/1)·(3/1) / (2/1)·(2/1)·(2/1)

Una escala que contingui l'interval 6/5 té (almenys) el límit factorial 5; una que contingui l'interval 9/8 té (almenys) el límit factorial 3.

La intervenció de l'interval 2/1 representa un simple canvi d'octava, amb manteniment de la classe de to. Quan calgui, expressarem aquesta operació abreujadament així:

27/8 ===> 27/16

Com tindrem ocasió de veure, cal distingir entre el resultat que s'obté - que és equivalent al que s'acaba d'exposar - i l'algorisme que es fa servir per a obtenir-lo, que a primera vista en pot semblar-ne força allunyat, però que matemàticament hi equival.

 

Representació gràfica de les escales

Les escales derivades de la sèrie harmònica es poden representar gràficament situant cada classe de to en uns eixos coordenats representatius dels factors altres que 2, a una distància de l'origen que representi l'exponent corresponent:

representació d'una escala
Representació de les notes [-1 0], [0 0], [1 0] i [4 0], de límit factorial 3, i [0 1], de límit factorial 5. Cal notar que, com veurem, [4 0] és el mi pitagòric i [0 1] el mi just.

Com és lògic, si el límit factorial és 3, la representació es redueix a una recta. Si, en canvi, és 7, cal recórrer a una gràfica en tres dimensions.

Aquest sistema gràfic és molt útil per a visualitzar l'organització d'una determinada afinació. Però presenta un inconvenient notable: dues notes molt properes però generades per mètodes diferents apareixen representades d'una manera totalment diferent. No és recomanable, doncs, fer-lo servir per a comparar afinacions diferents.

 

Obtenció de notes per quintes generatrius

Els dos intervals més bàsics de la sèrie harmònica són 2/1 i 3/1, que combinats donen lloc a l'interval de quinta exacta, 3/2. Aquest interval té una importància cabdal en tota mena d'afinacions, de manera que es pot considerar que totes el fan servir en major o menor mesura.

Fixem una primera nota, de freqüència f, a la qual assignem el valor 1/1, i que podem considerar

(3/2)0

Aplicant-hi l'interval generador 3/2 obtenim (3/2)1, i a continuació (3/2)2, i en general

(3/2)n

on n és un nombre enter (positiu, nul o negatiu).

D'aquesta manera obtenim les classes de to, representades per notes que pertanyen a diverses octaves, que reduïm a continuació a una sola octava de referència.

Els càlculs es poden fer amb amb l'eina que es presenta a continuació:

Entreu el nombre enter (positiu o negatiu) a la casella corresponent a n i a continuació feu clic a 'Calcular'. Obtindreu:

  • El valor de la nota generada, expressat com a interval en relació a la nota fonamental.
  • El número de l'octava de la nota fonamental immediatament inferior a la nota obtinguda.
  • El valor de la nota reduïda a l'escala de referència (0 - 1), expressat en forma de fracció.
  • El mateix valor expressat en cents.
n
Nota generada
Octava immediatament inferior
Valor reduït de la nota, en forma de fracció
Valor reduït de la nota, en cents

 

Cicle de quintes

Prenem com a punt de partença una nota, per exemple el fa. L'augmentem en una quinta: obtenim el do. Augmentem el do en una quinta: obtenim el sol, i després el re, i així successivament. En sentit contrari, obtenim el sib i després el mib. Reiterant el procediment, en arribar al la# la nota és molt propera al sib (per tal que coincidissin exactament caldria introduir-hi una correcció equivalent a una Coma de Pitàgores).

L'ordre amb què obtenim les notes successives s'anomena cicle de quintes; el mot cicle ens en suggereix el caràcter circular.

cicle de quintes

És interessant d'observar la disposició dels intervals fonamentals en el cicle de quintes.

Movent-nos en el sentit de les agulles del rellotge i prenent com a referència qualsevol nota

I movent-nos en sentit contrari,

El cicle de quintes esdevingué bàsic en la preceptiva clàssica, i encara avui es troba a la base de la convenció que fixa en quin ordre s'indiquen les alteracions en l'armadura d'una partitura:

fa do sol re la mi si

 

Temperaments

Les afinacions derivades de la sèrie harmònica tenen sempre un punt feble: almenys un dels intervals de l'escala serà un interval residual - com els que hem vist o un d'anàleg -; no es podrà expressar mitjançant una fracció de termes petits, i per tant quedarà com una mena de cos estrany dins el sistema, difícilment combinable amb la resta. Aquest fet és una conseqüència de la incompatibilitat matemàtica entre els intervals exactes senzills.

Al llarg del temps s'han arbitrat diversos sistemes aproximatius que reparteixin els desajustaments a fi de fer-los menys perceptibles. Aquests sistemes es coneixen amb el nom genèric de temperaments.

Un temperament és una fórmula per la qual els intervals residuals es reparteixen per tota l'escala, a fi de minimitzar-ne els efectes negatius. Això implica modificar els intervals elementals altres que l'octava. Aquests ja no s'expressen mitjançant una fracció racional, sinó mitjançant un nombre irracional, és a dir, que conté l'operació de radicació.

Alguns teòrics - especialment els partidaris de l'entonació justa - sostenen que qualsevol afinació que no contingui les terceres majors i menors exactes - fins i tot el sistema pitagòric - ja és un temperament. Tanmateix habitualment aquest terme s'aplica només als procediments posteriors a Zarlino en què es fan servir nombres irracionals que forneixen quintes, terceres majors i terceres menors inexactes, però amb valors propers als exactes.

 

Anàlisis de les afinacions

Les anàlisis de les afinacions d'una escala es duen a terme construint les anomenades matrius d'intervals, és a dir, el conjunt de tots els intervals possibles inferiors a una octava, i analitzant fins a quin punt cada un dels intervals s'ajusta als valors exactes derivats de la sèrie harmònica (uníson/octava, quinta, quarta, tercera major, tercera menor, sexta major i sexta menor).

L'eina que hi ha a continuació ho fa d'una manera gràfica.

  • Seleccioneu el tipus de valors que volgueu emprar (fraccions o cents).
  • Ompliu les caselles de la segona columna; cada casella correspon a un grau de l'escala diatònica, indicat amb la notació habitual.
  • L'encreaument de les files i les columnes tercera i següents indiquen els intervals corresponents. Els intervals homòlegs (quintes, terceres majors, etc.) apareixen doncs en sengles diagonals.
  • Premeu Calcular. El càlcul pot durar uns pocs segons.
  • Premeu Renovar abans d'entrar noves dades.
  • Els valors corresponents als intervals exactes apareixeran en verd; si no ho són, el color virarà al groc, després al vermell (com els colors d'un semàfor) i, finalment, al negre. Els intervals més allunyats dels típics queden en blanc.
Dades en fracció Dades en cents

  I   II   III IV   V   VI   VII
I                        
                         
II                        
                         
III                        
IV                        
                         
V                        
                         
VI                        
                         
VII