19. Afinació pitagòrica

Nota prèvia.- La base del sistema pitagòric.- Cicle de quintes i tancament.- Escala diatònica.- Escala pentatònica.- Escala referida al do.- Escala cromàtica.- Anàlisi dels intervals Índex

Nota prèvia

En aquest tema i en tots els que segueixen s'exposen les idees bàsiques de cada una de les diverses afinacions tractades i el resultat que se'n deriva. En fer-ho s'explica la idea bàsica pròpia de cada una, però amb una formulació matemàtica actual, i referida sempre - llevat que es digui el contrari - a freqüències de sons, no pas a longituds de cordes o anàlegs, independentment de com ho formulés l'autor.

D'altra banda, quan una afinació té una pervivència molt llarga, no se'n pretén fer la història: per això es parla, per exemple, del sistema pitagòric i immediatament es passa a parlar de l'adaptació que se'n va fer cap al 1400.

 

La base del sistema pitagòric

A l'antiga Grècia, Pitàgores (580aC? - 500aC?) va transformar les observacions empíriques anteriors en formulacions matemàtiques, i en va derivar una incipient teoria musical. No va deixar registre escrit de les seves idees, ja que la seva filosofia era de caràcter esotèric i demanava als deixebles de no revelar-ne els secrets. Probablement va fer servir el monocord.

Després de la mort de Pitàgores, el seu deixeble Philolaos va donar a conèixer la teoria, però només coneixem les seves explicacions per la notícia fragmentària que en féu Nicòmac de Gerasa (segle II aC).

L'anomenat sistema pitagòric es basa en la consideració de l'interval de quinta (3/2) com interval generador, a partir del qual obté, per aplicació successiva, totes els altres graus de l'escala.

Cal notar que un procediment essencialment coincident era conegut pels xinesos des de molt abans.

 

Cicle de quintes i tancament

Atès el procediment de construcció de l'escala, els intervals de quinta resulten tots exactes. Però en arribar al 12è grau, en comptes d'obtenir un altre cop el valor 1, que tancaria exactament el cicle de quintes, obtenim

(3/2)12 = 2-12 312 ===> 2-19 312

que és el valor de la coma pitagòrica.

La quinta que tanca el cicle resultarà doncs de descomptar aquest valor de la coma de Pitàgores del de la quinta exacta:

(3/2) / 2-19 312 = 218 3-11 = 262144 / 177147 = 1,4798 (678,5 cents)

Si no fessim aquest tancament forçat, podríem estendre el procediment d'obtenció de notes tan enllà com volguéssim i mai no n'obtindríem cap que coincidís exactament amb una d'anterior.

cicle de quintes pitagòric

 

Escala diatònica

Aplicant el mètode de Pitàgores per a valors d'n compresos només entre -3 i +3 obtenim una escala diatònica:

-3 (3/2)-3 = 8/27 ===> 32/27
-2 (3/2)-2 = 4/9 ===> 16/9
-1 (3/2)-1 = 2/3 ===> 4/3
0 (3/2)0 = 1
1 (3/2)1 = 3/2
2 (3/2)2 = 9/4 ===> 9/8
3 (3/2)3 = 27/8 ===> 27/16

Ordenant aquests valors tenim

1/1 9/8 32/27 4/3 3/2 27/16 16/9

Tots els intervals entre notes consecutives es redueixen a dos, 9/8 i 256/243 (90,2 cents).

Entre la tercera nota i la segona hi ha un interval de

(32/27) / (9/8) = 256/243 (90,2 cents)

Aquest interval rep el nom de leimma (= romanent) o semitò diatònic pitagòric.

I anàlogament entre la sisena nota i la setena.

Tots els altres intervals són de 9/8; per exemple, entre quarta i la cinquena és

(3/2) / (4/3) = 9/8 (203,9 cents)

Entre la primera nota i la quarta hi ha una quarta, i entre la cinquena i la vuitena també:

(4/3) / (1/1) = 4/3
(2/1) / (3/2) = 4/3

Tenim doncs dos tetracords separats per un to enter, és a dir, una escala diatònica.

Els semitons es troben entre les notes segona i tercera i sisena i setena. Més específicament, doncs, hem obtingut el mode frigi de l'escala diatònica (mode dòric en la terminologia medieval). En la terminologia actual, hem obtingut una escala diatònica de re a re'.

 

Escala pentatònica

Si en comptes d'aplicar el sistema entre -3 i +3 ho fem entre -2 i +2 obtindrem una escala pentatònica:

re mi sol la do re'

 

Escala referida al do

Si a la successió d'intervals generats pel sistema pitagòric entre -3 i +3 hi apliquem un factor constant de valor 9/8 (o, el que és el mateix, apliquem la fórmula de la quinta generatriu entre -1 i 5), els valors dels intervals no variaran; simplement haurem desplaçat l'escala.

D'aquesta manera haurem obtingut una escala de do a do:

do (3/2)0 = 1 0
re (3/2)2 = 9/4 ===> 9/8 203,9
mi (3/2)4 = 81/16 ===> 81/64 407,8
fa (3/2)-1 = 2/3 ===> 4/3 498,0
sol (3/2)1 = 3/2 702,0
la (3/2)3 = 27/8 ===> 27/16 905,9
si (3/2)5 = 243/32 ===> 243/128 1109,8

 

Escala cromàtica

Ampliant els càlculs de l'escala anterior, amb centre en el do, per tots dos extrems podem obtenir les notes alterades (sostinguts i bemolls):

... ... ...
solb (3/2)-6= 64/729 ====> 1024/729 588,3
reb (3/2)-5= 32/243 ===> 256/243 90,2
lab (3/2)-4 = 16/81 ===> 128/81 792,2
mib (3/2)-3 = 8/27 ====> 32/27 294,1
sib (3/2)-2 = 4/9 ====> 16/9 996,1
... ... ...
fa# (3/2)6 = 729/32 ====> 729/512 611,7
do# (3/2)7 = 2187/64 ===> 2187/2048 113,7
sol# (3/2)8 = 6561/128 ===> 6561/4096 815,6
re# (3/2)9= 19683/256 ===> 19683/16384 317,6
la# (3/2)10= 59049/512 ====> 59049/32768 1019,6
... ... ...

De les diverses possibilitats pel que fa al tancament del cicle de quintes, inicialment es va fer servir la que el desenvulopa entre el mib i el sol#. Cap al 1400 es va iniciar la tendència a construir l'escala només a partir dels bemolls, és a dir, a posar com a límits el solb i el si:

do 0,0
reb 90,2
re 203,9
mib 294,1
mi 407,8
fa 498,0
solb 588,3
sol 702,0
lab 792,2
la 905,9
sib 996,1
si 1109,8

 

Anàlisi dels intervals

anàlisi gràfica
Anàlisi gràfica de l'afinació (versió posterior al 1400)