Definicions

Funcions i representació gràfica

Una funció és una expressió algebraica que relaciona els valors de dues o més variables.

Si hi ha dues variables, la representació gràfica habitual és una línia - o un conjunt de línies - sobre una superfície plana, segons un sistema de coordenades cartesianes.

 

Funcions explícites i funcions implícites

Per a la representació d'una funció donem un conjunt de valors a una variable, anomenada independent, i per càlcul obtenim els valors de l'altra variable, anomenada dependent.

Si l'expressió algebraica és tal que la variable independent es pot situar exclusivament en un membre d'una igualtat i la dependent en l'altra, diem que la funció és explícita. Les funcions explícites responen a la forma general

y = f(x)

on x és la variable independent i y la variable dependent.

En cas contrari, diem que la funció és implicita; la forma general d'aquestes és

f(x, y) = 0.

 

Funcions paramètriques

En les funcions paramètriques les dues variables rellevants, x i y es fan dependre d'una variable auxiliar t. Tenim doncs

x = f(t)
y = f(t).

 

Funcions polars

En les funcions en coordenades polars no es relacionen directament els valors d'x i els valors d'y, sinó que el punt (x, y) és definit per la distància r a l'origen de coordenades i per l'angle a que forma r amb OX.

La funció s'expressa doncs com

r = f(a).

Els valors d'x i d'y són

x = r cos a
y = r sin a

 

Tipus de funcions i forma del gràfic resultant

Dels diversos tipus de funcions no en resulten pas corbes radicalment diferents. Una recta, posem per cas, pot ésser definida mitjançant una funció explícita, una funció implícita o una funció paramètrica i, complicant-ho una mica, mitjançant una funció polar. Una circumferència se sol definir mitjançant una funció polar o una de paramètrica.

L'ús d'un tipus de funció o altre és simplement una qüestió de conveniència.

 

Funcions de tres variables

Si hi ha tres variables, la representació gràfica consisteix en línies i superfícies en l'espai.

Pel que fa a la forma de relacionar les variables, es poden fer les mateixes distincions que acabem de veure, complicades pel fet que, en haver-hi més variables, poden barrejar-se diversos tipus de relació. Per exemple, podem definir una circumferència com la intersecció d'una esfera donada en coordenades polars i un pla donat per una funció implícita.

Quan la representació gràfica d'una funció amb més de dues variables s'ha de traslladar al paper o a la pantalla d'ordinador, cal recórrer forçosament a projeccions, i com a molt a visions successives des de diversos punts de vista. En casos particulars - per exemple la representació del relleu en els mapes - es pot recórrer al color per a la representació de la tercera dimensió; és el que hem fet aquí en l'apartat de les funcions de tres variables, on ens limitem al cas

z = f(x,y)


Retorn