23. Disseny de regles de decisió

Índex | Anterior | Següent | Taules

 

Passos per al disseny d'assaigs d'hipòtesis

El disseny d'un assaig d'hipòtesis consta dels passos successius següents:

1) Es formula una hipòtesi nul·la sobre el valor d'un paràmetre de la població que s'estudia. Per exclusió de la hipòtesi nul·la, queda formulada la hipòtesi alternativa.

2) S'estableix el nivell de significació desitjat per a l'assaig.

3) S'estableix la mida de la mostra.

4) Es calculen els valors extrems dels estadístics sota el supòsit que la hipòtesi nul·la és certa. La regió que queda fora d'aquests valors s'anomena zona crítica

Un cop dissenyat l'assaig, es duu a terme aquest. Si els valors obtinguts cauen fora dels valors extrems, es rebutja la hipòtesi nul·la amb el nivell de confiança prèviament elegit; altrament s'accepta la hipòtesi nul·la (o no es pren cap decisió).

 

Assaigs de dues cues

En formular les hipòtesis, podem estar interessats en una hipòtesi alternativa que es produeixi per sobre o per sota dels valors atribuïts a la hipòtesi nul·la; en aquest cas hi ha dues zones crítiques i parlem d'assaig de dues cues.

Volem dissenyar un assaig per a determinar si una moneda està mal feta.

1) Si la moneda està ben feta (hipòtesi nul·la), la meitat de les vegades ha de sortir cara. Anomenant π la proporció de cares, tenim

H0: π = 0,5
H1: π <> 0,5

Notem que la moneda pot estar mal feta per excés de cares o per excés de creus; l'assaig és doncs de dues cues.

2) Escollim un nivell de significació, per exemple, 0,01. Com que l'assaig és de dues cues,

pz = 0,5 - 0,01 / 2 = 0,495

3) Establim la mida de la mostra; en aquest cas, el nombre de tirades a què sotmetrem la moneda. Decidim que en seran 50.

4) Calculem els valors extrems de l'estadístic de contrast:

π = p ± σp zc

on, sota els supòsits de la hipòtesi nul·la

π = 0,5

σp = ( 0,5 . 0,5 / 50 )1/2 = 0,0707 [vegeu tema 17]

pz = 0,495 ==> zc = 2,575

0,5 = p ± 0,0707 . 2,575 ==>
p = 0,5 ± 0,182 ==>
0,318 < p < 0,682

o sigui que el nombre de cares ha de quedar comprès entre 16 i 34; altrament acceptarem la hipòtesi alternativa

 

Assaigs d'una cua

En d'altres casos, però, estem interessats en una sola zona crítica; en diem assaig d'una cua.

La duració dels tubs fluorescents d'un fabricant és de 1800 hores amb una desviació estàndard de 100 hores. Volem dissenyar un assaig per comprovar si un nou procediment de fabricació n'augmenta la duració.

1) Si el nou procediment no representa cap millora, μ <= 1800. Tenim doncs

H0: μ <= 1800
H1: μ > 1800

Només falsarem la hipòtesi nul·la si la nova duració és superior; l'assaig és doncs d'una sola cua.

2) Escollim un nivell de significació, per exemple 0,01. Com que l'assaig és d'una sola cua,

pz = 0,5 - 0,01 = 0,49

3) Establim la mida de la mostra; per exemple, 50 fluorescents.

4) Calculem els valors extrems del paràmetre en relació a l'estadístic:

μ = M ± σM zc

on, en el cas límit d'acceptació de la hipòtesi nul·la,

μ = 1800

σM = 100 / 501/2 = 14,142 [vegeu tema 12]

pz = 0,49 ==> zc = 2,33

1800 = M - 14,142 . 2,33 = M - 32,951 ==>
M = 1800 + 32,951 = 1832,951

o sigui que si obtenim un valor fins a M = 1833 acceptem la hipòtesi nul·la; si el valor de M és superior a aquest valor podem rebutjar-la i acceptar l'alternativa.