16. Proporcions

Índex | Anterior | Següent | Taules

 

Definició

Suposem una població els elements de la qual prenen un nombre limitat de valors, a, b, c... Els quocients Na/N, Nb/N, Nc/N són les proporcions d'ocurrència dels valors respectius. Notem que en aquesta definició els valors tant poden ser quantitatius com no. Les proporcions es designen amb una π si fan referència a una població i amb una p si fan referència a una mostra.

En una capsa hi ha 3 boles blanques, 4 de negres i 2 de vermelles. Les proporcions dels diversos tipus de boles és doncs

πb = 3 / 9 = 0,333
πn = 4 / 9 = 0,444
πv = 2 / 9 = 0,222

 

Proporcions en variables de només dos valors

Sovint es consideren les proporcions referides a variables per a les quals s'estableixen només dos valors.

En l'exemple anterior podríem haver considerat 3 boles blanques i 6 boles no blanques.

Aquesta mena de proporcions permeten una anàlisi quantitativa tot i que la variable sigui qualitativa. Atribuïm el valor 1 a un dels valors qualitatius possibles (èxit) i 0 al resultat contrari (fracàs). D'aquesta manera podem atribuir una mitjana aritmètica i una desviació estàndard a la distribució corresponent.

Continuant amb l'exemple, atribuïm el valor 1 a la bola blanca i el valor 0 a les dels altres colors. D'aquesta manera tenim una mitjana

μ = (1+1+1+0+0+0+0+0+0) / N = 0,333

Aquest valor és el mateix que el de π

La variància és

σ2 = (3 . 0,6672 + 6 . 02 ) / 9 = 0,222

 

Propietats fonamentals de les proporcions

Molt fàcilment es demostra que

μ = π

i que

σ2 = π ( 1 - π )

Tornem un cop més a l'exemple. Ja hem comprovat que μ coincideix amb π. Pel que fa al càlcul de σ2 tenim que

π ( 1 - π ) = 0,333 . 0,667 = 0,222

Aquest valor coincideix amb el que hem calculat abans amb la fórmula general.