15. Diferències entre mitjanes

Índex | Anterior | Següent | Taules

 

Concepte

Suposem dues poblacions, 1 i 2. Les mitjanes aritmètiques d'un determinat paràmetre d'aquestes poblacions són μ1 i μ2, i les desviacions estàndard, σ1 i σ2. El concepte de diferència de mitjanes és obvi:

μ1 - μ2

Extraiem mostres de les dues poblacions; obtenim sengles distribucions mostrals per a les mitjanes M1 i M2. Combinant tots els valors de la primera amb tots els valors de la segona obtindrem la distribució mostral de les diferències dM.

Es demostra que

μM1-M2 = μM1 - μM2 = μ1 - μ2

I pel que fa a l'error típic és

σM1-M2 = ( σM12 + σM22 )1/2 = [ ( σ12 / N1 ) + ( σ22 / N2 ) ]1/2

 

Estimació d'una diferència de mitjanes aritmètiques

Del que s'ha dit en el punt anterior es dedueix que l'estima per punt de la diferència entre mitjanes aritmètiques és

μ12 = M1 - M2

I conegut l'error típic, podem construir intervals de confiança:

μ12 = M1 - M2 ± zc σM1-M2

Si les mostres són petites, emprem la t en comptes de la z, amb un nombre de graus de llibertat ν = N1+N2-2.

 

Desconeixement de les desviacions estàndard poblacionals

Si desconeixem les desviacions estàndard poblacionals, el problema d'estimar l'error típic de les diferències es complica. Només podem fer servir la fórmula de l'error típic donada abans quan es donen aquestes dues circumstàncies:

Suposem dues mostres, {3, 3, 4, 5} i {5, 6, 6, 7}, corresponents a dues poblacions de les quals tenim motius per creure que les respectives σ són pràcticament coincidents. Desitgem tenir un interval de confiança del 99% per a la diferència de mitjanes aritmètiques poblacionals.

1) Calculem les mitjanes aritmètiques i les desviacions estàndard n-1 mostrals:

M1 = 3,75
M2 = 6,00

s12 = 0,917
s22 = 0,667

2) Calculem l'error típic, estimant σ1 amb s1 i σ2 amb s2:

σM1-M2 = [(0,917/4) + (0,667/4) ]1/2 = 0,3961/2 = 0,629

3) Consultem les taules. ν és 6 i com que la taula fa servir el valor acumulat de les dues cues, tenim que

1 - 2 Pt = 1 - 0,99 = 0,01

Per a aquests valors

tc = 3,7074

4) Apliquem tots els valors a la fórmula de l'interval de confiança

μ1 - μ2 = 3,75 - 6,00 ± 3,707 . 0,629 ==>
-4,58 < μ1 - μ2 < 0,09