13. Estimaciˇ de la desviaciˇ estÓndard

═ndex | Anterior | SegŘent | Taules

 

Distribuciˇ mostral de la desviaciˇ estÓndard

De la mateixa manera que definim una mitjana aritmŔtica mostral, M, fent servir la mateixa fˇrmula que per a la mitjana aritmŔtica poblacional μ, tambÚ podem definir una desviaciˇ estÓndard mostral s' usant la mateixa fˇrmula que fem servir per a definir la desviaciˇ estÓndard poblacional, σ.

Aquestes desviacions estÓndard de les mostres, s', constitueixen una distribuciˇ. Aquesta distribuciˇ tÚ una mitjana aritmŔtica, μs', i una desviaciˇ estÓndard, σs'.

Es demostra que

σs'2 = σ2 / 2N

 

s', estimador esbiaixat de σ

A diferŔncia del que succeeix amb la distribuciˇ mostral de les mitjanes aritmŔtiques, en quŔ

μM = μ

la relaciˇ anÓloga no Ús certa en el cas de la distribuciˇ de les desviacions estÓndard.

Per tant s' Ús un estimador esbiaixat de σ.

 

La desviaciˇ estÓndard modificada

Es demostra que si en la definciˇ de la desviaciˇ estÓndard mostral substutu´m el denominador N pel denominador N-1,

s2 = Σ(xi-M)2 / ( N-1 )

aleshores obtenim un estimador no esbiaixat de la desviaciˇ estÓndard poblacional σ.

Reprenent l'exemple del primer apartat del tema anterior, U={3, 4, 5, 9}, en quŔ μ = 5,25 i σ2 = 5,188 , calcularem la desviaciˇ estÓndard normal i la modificada per a totes les mostres possibles de dos elements. Els resultats sˇn

{3, 3}    s'2=0,000;    s2= 0,000
{3, 4}    s'2=0,250;    s2= 0,500
{3, 5}    s'2=1,000;    s2= 2,000
{3, 9}    s'2=9,000;    s2=18,000
{4, 3}    s'2=0,250;    s2= 0,500
{4, 4}    s'2=0,000;    s2= 0,000
{4, 5}    s'2=0,250;    s2= 0,500
{4, 9}    s'2=6,250;    s2=12,500
{5, 3}    s'2=1,000;    s2= 2,000
{5, 4}    s'2=0,250;    s2= 0,500
{5, 5}    s'2=0,000;    s2= 0,000
{5, 9}    s'2=4,000;    s2= 8,000
{9, 3}    s'2=9,000;    s2=18,000
{9, 4}    s'2=6,250;    s2=12,500
{9, 5}    s'2=4,000;    s2= 8,000
{9, 9}    s'2=0,000;    s2= 0,000

Fent les respectives mitjanes obtenim

μs'2 = 2,594
μs2 = 5,188

Comprovem doncs que s, i no pas s', Ús el veritable estimador no esbiaixat de σ.

De les definicions de s' i s es dedueix immediatament que

s = s' ( N / N-1 )1/2

A mesura que les mostres es van fent grans, la diferŔncia entre s' i s va perdent importÓncia, ja que el factor ( N / N-1 )1/2 tendeix rÓpidament a 1 (per exemple, 1,017 quan N=30 i 1,005 quan N=100).