9. Relacions entre z i P

Índex | Anterior | Següent | Taules

 

Introducció

La darrera de les propietats que s'ha esmentat comporta que en una distribució normal estandarditzada hi ha una dependència directa entre els valors de P i els de z , sense intervenció d'altres variables:

P = f(z1, z2)

En general els valors de P es calculen fent que un dels límits sigui z=0. D'aquesta manera la P entre dues z diferents, una de negativa i una de positiva, és la suma de les dues P parcials,

P = P1 + P2

En canvi, si les dues z són del mateix signe, les haurem de restar:

P = P2 - P1

Ens ho mostra el gràfic següent:

gràfica P i z

A partir d'ara farem servir el símbol Pz per referir-nos a la proporció entre 0 i z.

 

Valors notables de P

Són notables les àrees delimitades pels valors de z que hi ha a la taula següent:

z Àrea
z=1 0,3413  
z=2 0,4772  
z=3 0,4987  

El mateix podem dir per als corresponents valors de z amb signe negatiu.

diversos valors de z

 

P entre -z i +z

Atesa la simetria de la corba, si volem coneixer una P entre una +z i -z, haurem de multiplicar per 2 el valor corresponent a l'interval entre 0 i z:

P = 2 Pz

I reprenent els valors notables de l'apartat anterior, tenim

Interval Àrea
-1<z<1 0,6826
-2<z<2 0,9544
-3<z<3 0,9974

 

Càlcul de P i de z

La relació matemàtica P=f(z) és complexa; per aquest motiu s'elaboren taules que ens subministren la correspondència entre tots dos valors. També hi ha programes informàtics que fan la mateixa tasca.

La forma de les taules és diversa: les unes presenten la Pz (com hem dit, entre 0 i z); les altres, el valor de 2Pz (entre +z i -z), d'altres presenten el valor 1-2Pz, corresponents a les dues cues exteriors a la franja delimitada per +z i -z, i, encara, n'hi ha que presenten el valor de P entre -infinit i z. Cal estar molt atent a les indicacions de la taula, i plantejar la consulta en conseqüència.

Taules per al càlcul de la P en funció de la z i al revés

Una distribució normal té els paràmetres μ=12,6 i σ=2,8. Volem saber els valors d'x, simètrics en relació a la mitjana aritmètica, que delimiten el 95% dels elements de la distribució.

1) L'àrea del 95%, atesa la simetria, es distribueix en dues meitats de

Pz = 0,95 / 2 = 0,475

a banda i banda de la mitjana aritmètica. Consultant les taules,

Pz = 0,475 => z = 1,96

2) Calculem els valors extrems d'x:

x = μ ± 1,96 σ = 12,6 ± 1,96 . 2,8 = 12,6 ± 5,5 ==>
18,1 > x > 7,1

 

Relacions entre P i percentils

L'ús de les variables tipificades i de les taules que en deriven faciliten molt el càlcul de les relacions entre la mitjana aritmètica i la desviació estàndard d'una banda i els percentils (i similars) per l'altra.

Cal notar que referir-se, posem per cas, al percentil 80, és tant com referir-se al conjunt dels elements que constitueixen una àrea sota la corba amb valor P=0,80 comptant des de -infinit.

Una distribució normal té els paràmetres μ=6,2 i σ=2,1, i volem saber quin és el percentil que correspon al valor x=7,8. Dit d'una altra manera, volem saber quin percentatge dels elements de la distribució són iguals o inferiors a 7,8.

1) Tipifiquem el valor x=7,8:

z = (7,8-6,2) / 2,1 = 0,762

2) Consultem les taules i observem que

z = 0,762 => Pz = 0,277

3) Com que l'àrea en la taula consultada es compta des de la mitjana aritmètica (percentil 50), el percentil corresponent a x=7,8 serà

P = 0,50 + 0,277 = 0,777

Això significa que el percerntil és 77,7 o, el que és el mateix, que el 77,7% dels elements són inferiors o iguals a x=7,8.

 

Importància de la distribució normal

La distribució normal és important per dues raons: