8. Distribució normal

Índex | Anterior | Següent | Taules

 

Distribució normal

Si en una distribució binomial simètrica el nombre N va creixent, la curtosi tendeix ràpidament a 0.

Així, per a N=10 la curtosi val -0,2; per a N=100 val -0,02, i per a N=1000 val -0,002.

Quan N=infinit la curtosi és 0. Aquesta distribució amb biaix i curtosi nuls s'anomena distribució normal.

 

Fórmula per a la distribució normal

La distribució normal respon a una funció del tipus y=f(x), amb la intervenció de μ i σ com a constants. La representació gràfica d'aquesta corba té la forma d'una campana: l'anomenada campana de Gauss.

La fórmula d'aquesta funció és la següent:

fórmula de Gauss

 

Propietats de la distribució normal

La distribució normal té una sèrie de propietats molt importants:

  1. Com a cas límit que és de les distribucions binomials en què p=0,5, té biaix 0. Dit d'una altra manera, és simètrica. Pel fet de ser simètrica, la mediana hi coincideix amb la mitjana aritmètica.
  2. Com que N és infinit, la curtosi de la distribució és 0.
  3. El valor d'y assoleix un màxim de valor 0,3989 quan x = μ, i no assoleix el valor y=0 ni a dreta ni a esquerra: l'eix de les X és una asímptota. Però els valors que a efectes pràctics es poden considerar nuls s'assoleixen ràpidament.
  4. L'àrea delimitada per la corba i l'eix de les X és 1.
  5. L'àrea delimitada per la corba, l'eix de les X i dues abscisses qualssevol representa la probabilitat - o proporció - P dels valors compresos entre les x de les dues abscisses.

esquema de la distribució normal

 

Distribució normal tipificada

La distribució normal, com qualsevol distribució, pot ésser tipificada. Si fem aquesta tipificació, la fórmula de la distribució esdevé

distribució normal tipificada

La distribució normal tipificada acumula les propietats de les distribucions tipificades i les de la distribució normal:

  1. μ = 0
  2. σ = 1
  3. És simètrica en relació a l'eix de les y
  4. La corba té un màxim en el punt (z=0, y=0,3989), i les dues branques laterals s'acosten asimptòticament a l'eix de les Z.
  5. L'àrea entre la corba i l'eix de les Z és 1.
  6. L'àrea delimitada per la corba, l'eix de les Z i dues abscisses qualssevol representa la probabilitat - o proporció - dels valors compresos entre les dues abscisses.

Taula per al càlcul de la y en funció de la z