7. Distribució binomial

Índex | Anterior | Següent

 

Distribució binomial

Suposem un esdeveniment que es pot produir amb dues modalitats, èxit, amb una probabilitat p, i fracàs, amb una probabilitat 1-p. Aquest esdeveniment es produeix reiteradament N vegades. Considerant el conjunt dels N esdeveniments, pot succeir que obtinguem N èxits, N-1 èxits, N-2 èxits, ..., 0 èxits. Cada un d'aquests resultats possibles té una determinada probabilitat; la distribució d'aquestes probabilitats s'anomena distribució binomial. Com és lògic, la probabilitat total (probabilitat conjunta de tots els resultats possibles) és 1.

Tenim una capsa que conté dues boles blanques i tres de negres. La probabilitat d'extreure una bola blanca és doncs 2/5. Fem l'extracció d'una bola, anotem el resultat i retornem la bola a la capsa. Repetim l'operació dues vegades més. Els resultats possibles es poden classificar en quatre categories: tres boles blanques, dues de blanques i una de negra, una de blanca i dues de negres, i tres de negres. Però aquests resultats no són igualment probables. Per a establir cada probabilitat construïm la taula següent:

Resultats Categoria Probabilitat
b, b, b 3 b (2/5)(2/5)(2/5) = 0,064  
b, b, n 2 b i 1 n (2/5)(2/5)(3/5) = 0,096  
b, n, b 2 b i 1 n (2/5)(3/5)(2/5) = 0,096  
b, n, n 1 b i 2 n (2/5)(3/5)(3/5) = 0,144  
n, b, b 2 b i 1 n (2/5)(2/5)(3/5) = 0,096  
n, b, n 1 b i 2 n (3/5)(2/5)(3/5) = 0,144  
n, n, b 1 b i 2 n (3/5)(3/5)(2/5) = 0,144  
n, n, n 3 n (3/5)(3/5)(3/5) = 0,216  

En resum:

I comprovem que 0,064+0,288+0,432+0,216=1

 

Fórmula de la distribució binomial

A partir de la teoria combinatòria es demostra que les diverses proporcions P(x) d'una distribució binomial amb una proporció individual p són donades per la fórmula

P(x) = N! px (1-p)N-x / x! (N-x)!

Així ens estalviem la complexitat del càlcul que hem mostrat en l'apartat anterior.

Aplicant aquesta fórmula a l'exemple esmentat, tenim

P(0) = 3! . 0,40 . 0,64 / 0! 3! = 0,216
P(1) = 3! . 0,41 . 0,63 / 1! 2! = 0,432
P(2) = 3! . 0,42 . 0,62 / 2! 1! = 0,288
P(3) = 3! . 0,43 . 0,61 / 3! 0! = 0,064

que són els mateixos valors que ja havíem obtingut.

 

Propietats de la distribució binomial

Es demostren, per a la distribució binomial, les propietats següents:

μ = Np
σ2 = Np(1-p)
biaix = (1 - 2p) / [ Np (1-p) ]1/2 = (1-2p) / σ
curtosi = [1-6p(1-p)] / Np(1-p) = [1-6p(1-p)] / σ2

Aplicant-ho a l'exemple de l'apartat anterior tenim N=3 i p= 0,4, i per tant

μ = 3 . 0,4 = 1,2
σ2 = 3 . 0,4 . 0,6 = 0,72
biaix = ( 1 - 0,8 ) / 0,721/2 = 0,236
curtosi = ( 1 - 2,4 . 0,6 ) / 0,72 = -0,611

En el gràfic següent es representen l'histograma i el polígon de freqüències corresponents a la distribució, i l'abscissa de la mitjana aritmètica:

distribució binomial

Distribució binomial simètrica

Fàcilment s'observa que si p=0,5 tindrem els valors següents:

μ = N/2
biaix = 0 (és a dir, que la distribució és simètrica)
curtosi = -2/N (sempre un valor negatiu i per tant sempre platicúrtiques)

La distribució binomial corresponent a 6 tirades d'una moneda perfecta (p=0,5) és la següent:

P(0) = 0,016
P(1) = 0,094
P(2) = 0,234
P(3) = 0,312
P(4) = 0,234
P(5) = 0,094
P(6) = 0,016

Hi correspon l'histograma i polígon de freqüències següent:

distribucuió binomial simètrica