6. Probabilitat

Índex | Anterior | Següent

 

Definicions de probabilitat

Suposem que en un conjunt d'un nombre N d'esdeveniments possibles, tots igualment factibles, en considerem favorables un nombre h i desfavorables la resta. La probabilitat de l'esdeveniment favorable és

p = h / N

En el llançament d'un dau podem considerar favorable, per exemple, un sol resultat, que surti un 6, i desfavorable qualsevol altre resultat. La probabilitat d'obtenir un resultat favorable, és a dir, un 6, és doncs

p = 1 cas favorable / 6 casos possibles = 0,167

Immediatament es pot veure que aquesta és una definició circular, ja que dir tots igualment factibles comporta l'ús implícit del propi concepte de probabilitat.

Per aquest motiu des d'un punt de vista estrictament matemàtic no es fa cap definició de probabilitat, sinó que es parteix d'una sèrie d'axiomes.

 

La probabilitat com a freqüència relativa

Sovint desconeixem els mecanismes elementals que condueixen a resultats complexos; en aquests casos prenem la probabilititat com l'expressió a posteriori d'una freqüència relativa - o proporció - observada empíricament.

Suposem un joc d'atzar el mecanisme exacte del qual desconeixem; per exemple, una màquina escurabutxaques, en la qual, per simplificar, hi ha un sol tipus de premi possible. En un període prou gran, per exemple de 200 jugades, observem que s'han obtingut 25 premis. Direm que la probabilitat d'obtenir premi en aquesta màquina és de

p = 25 / 200 = 0,125

Des d'aquest punt de vista es pren la probabilitat empírica com un estimador de la probabilitat real, que seria la proporció π de casos favorables quan el nombre de casos observats tendeix a infinit. Els fets observats són considerats una mostra d'una població infinita.

En canvi, quan coneixem els mecanismes que regeixen els resultats, la freqüència relativa observada es pot prendre com una mesura de qualitat: fins a quin punt els mecanismes reals coincideixen amb els que creiem que són o que haurien de ser.

Per exemple, tothom està d'acord que, a la llarga, un dau ben fet ha de donar un determinat valor - per exemple un 4 - una vegada de cada 6 i que una moneda ben feta ha de donar cara una vegada de cada dues. Si en una sèrie de 100 tirades el dau hagués donat 55 vegades un 4 o la moneda hagués donat cara 80 vegades, els rebutjaríem.

 

Probabilitat conjunta d'esdeveniments incompatibles

Si dos o més esdeveniments són incompatibles, la probabilitat conjunta que se'n presenti un qualsevol és la suma de les probabilitats dels esdeveniments individuals.

Quan tirem un dau una sola vegada, l'esdeveniment sortir un quatre i l'esdeveniment sortir un sis són mutuament excloents. Com que la probabilitat de cada un dels dos esdeveniments individuals és 1/6, la probabilitat que es presenti bé un quatre bé un sis serà

(1/6) + (1/6) = 1/3

 

Probabilitat conjunta d'esdeveniments independents

Si dos o més esdeveniments són independents, la probabilitat que es presentin conjuntament és el producte de les probabilitats dels esdeveniments individuals.

Suposem un joc d'atzar en què, en un determinant moment, calgui llançar alhora una moneda i treure cara i un dau i obtenir un 1. La probabilitat del primer esdeveniment és 1/2 i la del segon 1/6. La probabilitat de presentació simultània dels dos esdeveniments serà doncs

(1/2) . (1/6) = 1/12

Cal examinar ben bé les condicions i determinar la independència dels fenomens, ja que si aquests no són independents, el càlcul es complica.

Suposem que d'una baralla de 48 cartes n'hem d'extreure dues i per considerar favorable la jugada, aquestes han de ser dos asos. Hi ha dos supòsits diferents, segons que després d'extreure la primera carta la reintegrem a la baralla o no la hi reintegrem. En el primer cas tenim dos esdeveniments totalment independents; en el segon no, ja que en el moment de la segona extracció només hi quedaran 47 cartes i, si la primera havia estat un as, en comptes de quatre ja només n'hi quedarien tres.

 

Probabilitat i estadística

La teoria de la probabilitat s'ocupa del càlcul de les probabilitats d'esdeveniments complexos a partir de les probabilitats dels esdeveniments més senzills.

L'aportació del càlcul de probabilitats a l'estadística és imprecindible per a bastir una teoria de les mostres: l'esdeveniment simple és la inclusió de tal element d'una població en una mostra i l'esdeveniment complex és la configuració total de la mostra, que tindrà tal i tal relació amb el conjunt poblacional.